سایت شخصی صادق سلمانی

ولتست، یادگیری ماشین، پایتون، فرازآوری مصنوعی

سایت شخصی صادق سلمانی

ولتست، یادگیری ماشین، پایتون، فرازآوری مصنوعی

سایت شخصی صادق سلمانی

مطالبی که در این سایت نوشته می‌شود به منزله تخصص من در آن‌ها نمی‌باشد، بلکه صرفاً آغازی است در مسیری طولانی برای یادگیری بهتر و عمیق‌تر.

آخرین نظرات

۱۳ مطلب با کلمه‌ی کلیدی «پایتون» ثبت شده است

تابع خطا (Error Function) در ریاضیات، تابعی غیراصلی (نداشتن ضابطه صریح) است که در علوم احتمالات، مواد، آمار و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می‌شود. تعریف این تابع به صورت زیر است (منبع: ویکی پدیا):


همچنین متمم تابع خطا (Complementary Error Function) نیز به شکل زیر تعریف می‌شود:


نمودار تابع خطا


جدول تابع خطا


علاوه بر اینها، در زبان برنامه‌نویسی پایتون نیز دستوری وجود دارد که می‌توان تابع خطای هر مقداری را محسابه نمود:


from math import *


erf (2)

>> 0.9953222650189527


erfc (2)
>> 0.004677734981047268

یکی از کاربردهای تابع خطا در درس چاه‌آزمایی می‌باشد. مثلاً گرینگارتن و همکاران با استفاده از توابع گرین (Green’s function)، معادله انتشار را برای یک چاه شکافدار (مدل شار یکنواخت) حل نمودند و به رابطه زیر رسیدند:

همان‌طور که مشاهده می‌کنید برای محاسبه فشار بی‌بعد در این رابطه، باید مقادیر تابع خطا را داشته باشیم. 

۰ نظر ۰۸ شهریور ۹۶ ، ۱۷:۲۸
صادق سلمانی

یکی از موضوعات مهم ریاضیات و آمار که کاربرد زیادی در رشته‌های مهندسی دارد، مبحث برازش منحنی (Curve Fitting) می‌باشد. 

هدف ما در برازش منحنی آن است که بهترین خط یا منحنی ممکن را از داده‌های موجود عبور دهیم. برای آنکه متوجه شویم که بهترین چندجمله‌ای یا منحنی ممکن را انتخاب کرده‌ایم، باید مجموع مربعات باقمانده‌ها حداقل باشد:


.The most common choice is to minimize the sum of squared residuals


معرفی چند تابع:

1- z = polyfit (x, y, n) 

این تابع، مقادیر x داده و مقادیر y داده‌ها را دریافت می‌کند و سپس یک منحنی درجه n ام از داده‌ها عبور می‌دهد به نحوی که بهترین انطباق ممکن را داشته باشد (حداقل مربعات). 

2- p = poly1d (z)

یک تابع چند جمله‌ای از ضرایب می‌سازد.



بررسی یک مثال از مبحث برازش منحنی:

from numpy import *

x = array ([0.0 , 1.0 , 2.0 , 3.0 , 4.0 , 5.0])

y = array ([0.0 , 0.8 , 0.9 , 0.1 , -0.8 , -1.0])

z = polyfit (x, y, 3)

p = poly1d (z)

xs = [ 0.1 * i for i in range (50)]

ys = [p ( x ) for x in xs]


from pylab import *

plot (x, y, 'o', label='data')

plot (xs, ys, label='fitted curve')

ylabel ('y')

xlabel ('x')

show ()


۰ نظر ۰۴ شهریور ۹۶ ، ۰۸:۳۶
صادق سلمانی

الآن در حال حل یکی از مثال‌های کتاب چاه‌آزمایی جان لی بودم که در میان مسیر باید مقدار Exponential Integral را محاسبه می‌کردم. روش معمول آن است که به جداول خود کتاب مراجعه کنیم و با کمی جستجو مقدار آن را بدست آوریم. ولی راه حل بهتر آن است که این کار را با استفاده از اکسل، پایتون، متلب و غیره انجام دهیم تا هم سریع‌تر باشد و هم مقدار دقیق‌تری بدست آید. 

ماژول Scipy یک تابع مناسبی برای محاسبه مقادیر Ei ارائه می‌دهد:

from scipy import*
x=expi(-0.5)
print(x)

نتیجه:
x = - 0.559773594776

۰ نظر ۰۷ ارديبهشت ۹۶ ، ۱۱:۰۵
صادق سلمانی

در مسائل مقدار اولیه، مقدار تابع در نقطه شروع داده می شود و با استفاده از روش های موجود مقدار آن را در سایر نقاط بدست می آوریم. در اینصورت منحنی تغییرات متغیر تابع بر حسب متغیر مستقل قابل رسم خواهد بود.

از جمله روش های حل مسائل مقدار اولیه می توان به روش های تیلور، اویلر و رانگ کاتا مرتبه دوم، سوم و چهارم اشاره نمود. در کلیه این روش ها مختصات هر نقطه با استفاده از مختصات نقطه ماقبلش بدست می آید. اساس کلیه این روش ها، استفاده از سری تیلور است.

تذکر: برای مطالعه توضیحات در مورد روش رانگ کاتا-2 به کتاب «کاربرد ریاضیات در مهندسی شیمی - روش های عددی» نوشته دکتر خراط مراجعه کنید.

خلاصه این روش:


در اینجا قصد دارم به بررسی یک مثال به روش رانگ کاتا - 2 بپردازم. قبلاً این مثال را به روش اویلر نیز حل کرده ام (این پست).

مثال:

معادله دیفرانسیل زیر را با استفاده از روش رانگ کاتا مرتبه دوم و برای حالت h = 0.5 حل کنید و مقدار تابع را تا x = 3.5 محاسبه کنید.


حل با استفاده از زبان برنامه نویسی پایتون (کدنویسی در محیط Spyder):
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
x0=1
y0=1
xf=3.5
n=6
h=(xf-x0)/(n-1)
x=np.linspace(x0,xf,n)
y=np.zeros([n])
y[0]=y0
for i in range(1,n):
    k1=h*x[i-1]*y[i-1]**(1/3)
    k2=h*(x[i-1]+h)*(y[i-1]+k1)**(1/3)
    y[i]=y[i-1]+0.5*(k1+k2)
for i in range(n):
    print(x[i],y[i])
plt.plot(x,y,'o')
plt.xlabel('value of x')
plt.ylabel('value of y')
plt.title('Approximate Solution with RK-2 Method')
plt.show()
نتایج:

1.0    1.0
1.5    1.67926784096
2.0    2.80994158899
2.5    4.52558068947
3.0    6.96573342035
3.5    10.2725017487

۰ نظر ۲۲ اسفند ۹۵ ، ۲۳:۴۰
صادق سلمانی

در مسائل مقدار اولیه، مقدار تابع در نقطه شروع داده می شود و با استفاده از روش های موجود مقدار آن را در سایر نقاط بدست می آوریم. در اینصورت منحنی تغییرات متغیر تابع بر حسب متغیر مستقل قابل رسم خواهد بود.

از جمله روش های حل مسائل مقدار اولیه می توان به روش های تیلور، اویلر و رانگ کاتا مرتبه دوم، سوم و چهارم اشاره نمود. در کلیه این روش ها مختصات هر نقطه با استفاده از مختصات نقطه ماقبلش بدست می آید. اساس کلیه این روش ها، استفاده از سری تیلور است.

تذکر: برای مطالعه توضیحات بیشتر به کتاب «کاربرد ریاضیات در مهندسی شیمی - روش های عددی» نوشته دکتر خراط مراجعه کنید.

روش اویلر:


در اینجا قصد دارم به بررسی یک مثال به روش اویلر بپردازم.

مثال:

معادله دیفرانسیل زیر را با استفاده از روش اویلر و برای حالت h = 0.5 حل کنید و مقدار تابع را تا x = 3.5 محاسبه کنید.

حل با استفاده از زبان برنامه نویسی پایتون (کدنویسی در محیط Spyder):

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt

x0=1

y0=1

xf=3.5

n=6

h=(xf-x0)/(n-1)

x=np.linspace(x0,xf,n)

y=np.zeros([n])

y[0]=y0

for i in range(1,n):

    y[i]=y[i-1]+h*x[i-1]*y[i-1]**(1/3)

for i in range(n):

    print(x[i],y[i])

plt.plot(x,y,'o')

plt.xlabel('value of x')

plt.ylabel('value of y')

plt.title('Approximate Solution with Euler Method')

plt.show()


نتایج:

1.0   1.0

1.5   1.5

2.0   2.35853568191

2.5   3.6896463079

3.0   5.62119172863

3.5   8.28825954375


۰ نظر ۱۹ اسفند ۹۵ ، ۱۲:۳۱
صادق سلمانی

در چند پست آتی قصد دارم که انتگرال‌گیری عددی به روش‌های مختلف را بررسی کنم. برای مطالعه توضیحات مربوط به این روش ها به کتاب کاربرد ریاضیات در مهندسی شیمی (دکتر خراط) مراجعه کنید. در این مطلب به کدنویسی انتگرال‌گیری عددی به روش ذوزنقه‌ای می پردازیم.


مثال:

# the function to be integrated

def func(x):

    return x**2

# define variables

a = 1.          # left boundary of area

b = 4.          # right boundary of area

dx = 1          # width of the trapezoids

# calculate the number of trapezoids

n = int((b - a) / dx)

# define the variable for area

Area = 0

# loop to calculate the area of each trapezoid and sum.

for i in range(1, n+1):

    #the x locations of the left and right side of each trapezpoid

    x0 = a+(i-1)*dx

    x1 = a+i*dx

    #the area of each trapezoid

    Ai = dx * (func(x0) + func(x1))/ 2.

    # cumulatively sum the areas

    Area = Area + Ai

#print out the result.

print ("Area = ", Area)

نتیجه:

Area = 21.5


یک نمونه کد دیگر برای انتگرال گیری عددی به روش ذوزنقه ای:

import numpy as np

x = np.linspace(1, 4, num=4)

y = x**2

I = np.trapz(y, x)

error = (I - 4)/4

print(I, error)

نتیجه:

I = 21.5

error = 4.375

۰ نظر ۰۸ اسفند ۹۵ ، ۱۱:۵۹
صادق سلمانی

برای مطالعه مبحث «چندجمله‌ای‌های حداقل مربعات» به کتاب «کاربرد ریاضیات در مهندسی شیمی - روش های عددی» که دکتر خراط نوشته اند مراجعه کنید. البته منابع مختلف دیگری هم در اینترنت موجود هست که به طور کامل توضیح داده اند. در کتاب دکتر خراط تمام روش های عددی و ریاضیاتی به طور مفصل و به همراه مثال توضیح داده شده اند که واقعا عالی هست.


مثال: از پنج نقطه داده شده در زیر یک سهمی از روش حداقل مجموع مربعات خطا بدست آورید:

(-2,4) , (-1,3) , (2,4) , (3,1) , (4,2)


import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.optimize import curve_fit  # Use non-linear least squares to fit a function, f, to data.

xdata=np.array([-2,-1,2,3,4])  # fit this data with a function

ydata=np.array([4,3,4,1,2])


def func(x,p1,p2,p3):

    return p1*x**2+p2*x+p3   # I’d like to fit this function using nonlinear least squares.


popt,pcov=curve_fit(func,xdata,ydata,p0=(3,1,2))

print('parrameters=',popt)   # The variable popt contains the fit parameters


p1=popt[0]

p2=popt[1]

p3=popt[2]

residuals = func(xdata,p1,p2,p3)-ydata 

print('residuals=',residuals)


fres = sum(residuals**2)

print('fres=',fres)



xfit = np.linspace(-3,6)

yfit = func(xfit, popt[0], popt[1], popt[2])

plt.plot(xdata,ydata,'r.')

plt.plot(xfit,yfit,'b-') 

plt.show()

خروجی:

parrameters= [-0.06280788 -0.21305419  3.48275862]

residuals= [-0.34236453  0.63300493 -1.19458128  1.27832512 -0.37438424]

fres= 3.71921182266


منابع تکمیلی:

http://www.walkingrandomly.com/?p=5215

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.curve_fit.html

۰ نظر ۰۶ اسفند ۹۵ ، ۱۳:۴۷
صادق سلمانی

در ریاضیات دنباله فیبوناچی به صورت زیر تعریف می شود:

به غیر از دو عدد اول، اعداد بعدی از مجموع دو عدد قبلی خود بدست می آیند. اولین اعداد این سری عبارتند از:

۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱

برای پیدا کردن 10 جمله اول دنباله اعداد فیبوناچی توسط پایتون از کد زیر استفاده می کنیم:

def F(n):

    if n == 0: 

        return 0

    elif n == 1: 

        return 1

    else: 

        return F(n-1)+F(n-2)

for i in range(0,10):

    print (F(i))


جواب:

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

تدکر: اگر در دستور بالا n را تغییر دهیم، می توانیم به هر تعداد جمله از دنباله فیبوناچی دسترسی داشته باشیم.

۱ نظر ۱۶ آذر ۹۵ ، ۰۳:۱۸
صادق سلمانی

برای پیدا کردن اعداد اول در یک بازه مشخص از کد زیر استفاده می کنیم:

from sympy import*

list1=[]

for i in primerange(7, 18):

    list1.append(i)

print(list1)

[7, 11, 13, 17] :جواب

برای اینکه تشخیص دهیم که یک عدد اول هست یا نه از کد زیر استفاده می کنیم:

>>> from sympy import*

>>> isprime(13)

 True


تجزیه یک عدد به عوامل اول:

from sympy import*

print(S(45).factors())

{3: 2, 5: 1} :جواب

۰ نظر ۱۰ آذر ۹۵ ، ۲۰:۳۳
صادق سلمانی

برای محاسبه فاکتوریل یک عدد (مثلاً !5) از دو روش زیر استفاده می کنیم:

روش اول:

x=1

num=int(input("enter a positive number:"))

for i in range(1,num+1):

    x=x*i

print("the factorial of",num,"is",x)

جواب: the factorial of 5 is 120

روش دوم:
from math import factorial
print (factorial(10))
جواب: 120
۰ نظر ۱۰ آذر ۹۵ ، ۲۰:۰۴
صادق سلمانی